#include <iostream>
using namespace std;
#define number 8
int sorted[8]; // 정렬된 배열. 반드시 전역 변수로 선언.
void merge(int a[], int m, int middle, int n){
// m: 정렬할 배열의 시작 지점
// middle: 정렬할 배열의 중간 지점
// n: 정렬할 배열의 끝 지점
int i = m;
int j = middle+1;
int k = m;
// 작은 순서대로 배열에 삽입
while(i<=middle && j <= n){
// i가 j보다 더 작으면 새로운 배열에 저장
if(a[i] <= a[j]){
sorted[k] = a[i];
i++;
}
// 그렇지 않으면 j 값 저장
else{
sorted[k] = a[j];
j++;
}
k++; // 한 번 저장하면 k 증가
}
// 남은 데이터 삽입
// i가 먼저 끝났다면 j 모두 새로운 배열에 저장
if(i > middle){
for(int t = j; t <= n; t++){
sorted[k] = a[t];
k++;
}
}
// j가 먼저 끝났으면 i 모두 새로운 배열에 저장
else{
for(int t = i;t<=middle;t++){
sorted[k] = a[t];
k++;
}
}
// 정렬된 배열을 실제 배열에 삽입
for(int t = m; t <= n; t++){
a[t] = sorted[t];
}
}
void merge_sort(int a[], int m, int n){
// 크기가 1보다 큰 경우 return
if(m < n){
int middle = (m+n) / 2;
merge_sort(a, m, middle); // middle을 기준으로 왼쪽 병합정렬
merge_sort(a, middle+1, n); // middle을 기준으로 오른쪽 병합정렬
merge(a, m, middle, n); // 정렬 후 합치기
}
}
int main(void){
int arr[number] = {7, 6, 5, 8, 3, 5, 9, 1};
merge_sort(arr, 0, number-1);
for(int i=0;i<number;i++)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
return 0;
}
출력
1 3 5 5 6 7 8 9
시간 복잡도
병합정렬은 정확히 반씩 나눈다는 점에서 최악의 경우에도 NlogN을 보장한다.
☞ 퀵 정렬이 가지는 한계(Pivot 값에 따라 편향되게 분할할 가능성이 있다는 점에서 최악의 경우 O(N^2)의 시간 복잡도를 가짐)를 보완할 수 있음.
#include <iostream>
using namespace std;
int number = 10;
int Data[10] = {1, 10, 5, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 9};
void quickSort_up(int *data, int start, int end){
// start: 정렬을 수행하는 부분집합의 첫 번째 원소
// end: 정렬을 수행하는 부분집합의 마지막 원소
// 원소가 1개인 경우
if(start >= end){
return;
}
int key = start; // pivot
int i = start + 1; // pivot 값에서 오른쪽으로 이동하면서 pivot값 보다 큰 값을 찾기 위해 존재하는 index
int j = end; // 정렬을 수행하는 부분집합의 마지막 원소에서부터 왼쪽으로 이동하면서 pivot 값보다 작은 값을 찾기 위해 존재하는 index
int tmp;
// 엇갈리는 경우 while 탈출
while(i <= j){
// i번째 원소가 pivot 값 보다 작으면 i 오른쪽으로 이동(pivot 값보다 큰 값을 만날 때 까지 오른쪽으로 이동)
while(data[i] <= data[key]){
i++;
}
// j번째 원소가 pivot 값 보다 크면 j 왼쪽으로 이동(pivot 값보다 작은 값을 만날 때 까지 왼쪽으로 이동)
// index가 엇갈렸을 때 작은 값과 pivot 값을 변경해주기 때문에 j는 배열을 벗어나지 못하도록 해주어야 함
while(data[j] >= data[key] && j > start){
j--;
}
// 엇갈린 경우 pivot값과 현재 data 변경
if(i > j){
tmp = data[j];
data[j] = data[key];
data[key] = tmp;
}
// 엇갈리지 않은 경우 i와 j index의 data 변경
else{
tmp = data[j];
data[j] = data[i];
data[i] = tmp;
}
}
// 엇갈리는 경우 pivot 값이 정렬되었으므로, pivot 값을 재설정해주어야 함
quickSort_up(data, start, j-1); // 왼쪽 data
quickSort_up(data, j+1, end); // 오른쪽 data
}
void quickSort_down(int *data, int start, int end){
// start: 정렬을 수행하는 부분집합의 첫 번째 원소
// end: 정렬을 수행하는 부분집합의 마지막 원소
// 원소가 1개인 경우
if(start >= end){
return;
}
int key = start; // pivot
int i = start + 1; // pivot 값에서 오른쪽으로 이동하면서 pivot값 보다 큰 값을 찾기 위해 존재하는 index
int j = end; // 정렬을 수행하는 부분집합의 마지막 원소에서부터 왼쪽으로 이동하면서 pivot 값보다 작은 값을 찾기 위해 존재하는 index
int tmp;
// 엇갈리는 경우 while 탈출
while(i <= j){
// i번째 원소가 pivot 값 보다 작으면 i 오른쪽으로 이동(pivot 값보다 큰 값을 만날 때 까지 오른쪽으로 이동)
while(data[i] >= data[key]){
i++;
}
// j번째 원소가 pivot 값 보다 크면 j 왼쪽으로 이동(pivot 값보다 작은 값을 만날 때 까지 왼쪽으로 이동)
// index가 엇갈렸을 때 작은 값과 pivot 값을 변경해주기 때문에 j는 배열을 벗어나지 못하도록 해주어야 함
while(data[j] <= data[key] && j > start){
j--;
}
// 엇갈린 경우 pivot값과 현재 data 변경
if(i > j){
tmp = data[j];
data[j] = data[key];
data[key] = tmp;
}
// 엇갈리지 않은 경우 i와 j index의 data 변경
else{
tmp = data[j];
data[j] = data[i];
data[i] = tmp;
}
}
// 엇갈리는 경우 pivot 값이 정렬되었으므로, pivot 값을 재설정해주어야 함
quickSort_down(data, start, j-1); // 왼쪽 data
quickSort_down(data, j+1, end); // 오른쪽 data
}
int main(void){
quickSort_up(Data, 0, number-1); // 오름차순
for(int i=0;i<10;i++){
cout << Data[i] << " ";
}
cout << endl;
quickSort_down(Data, 0, number-1); // 내림차순
for(int i=0;i<10;i++){
cout << Data[i] << " ";
}
return 0;
}
출력
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
만약 아래 배열을 정렬한다면?
선택 정렬의 시간 복잡도: N^2 = 100
퀵 정렬의 시간 복잡도:
1 2 3 4 5 => 5 * 5 = 25
6 7 8 9 10 => 5 * 5 = 25
-> 25 + 25 = 50
∴ O(NlogN)의 시간복잡도를 갖는 알고리즘을 이용하면 100만개 정도의 데이터는 어렵지 않게 정렬이 가능하다.
시간복잡도
평균 : N*logN
최악의 경우: N^2
만약 이미 오름차순 정렬되어있는 배열을 퀵정렬을 이용해 오름차순 정렬한다면?
=> 분할 정복의 이점을 사용하지 못하고 있으므로, 이런 경우에는 insertion sort를 사용하는 게 효율적이다.
: 각 숫자를 적절한 위치에 삽입하는 정렬 방법으로, 정렬 대상 숫자를 기준으로 앞의 원소들은 이미 정렬이 되어 있다고 가정한다.
적절한 위치? 선택 정렬(Selection Sort)와 버블 정렬(Bubble Sort)은 무조건 위치를 변경하는 정렬 방식으로, 이미 정렬이 이루어져 있는 상황에서도 반드시 반복을 수행한다. 반면에, 삽입 정렬(Insertion Sort)은 필요할 때만 위치를 변경한다.
#include <iostream>
using namespace std;
int main(void){
int i, j, tmp;
int arr[10] = {1, 10, 5, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 9};
for(i=0;i<10;i++){
for(j=0;j<9-i;j++){ // i for문이 1번 반복될 때마다 가장 마지막 위치의 원소는 채워지기 때문에 idx 9-i까지만 확인
if(arr[j] > arr[j+1]){
tmp = arr[j];
arr[j] = arr[j+1];
arr[j+1] = tmp;
}
}
}
for(i=0;i<10;i++){
cout << arr[i] << " ";
}
return 0;
}
출력
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
시간 복잡도
10 + 9 + 8 + ... + 1
= 10 * (10 - 1) / 2
= N * (N - 1) / 2
= O(N^2)
실제로 실행시켜보면 Bubble Sort가 Selection Sort보다 더 느리게 작동한다. : Bubble Sort는 당장 옆에 있는 것과 비교해 자리를 바꾸는 연산을 수행하며, 자리를 바꾸는 연산은 총 3번의 연산을 필요로 하기 때문에 컴퓨터가 실질적으로 수행해야하는 명령어가 더 많기 때문이다. 반면에 선택 정렬은 가장 작은 수를 찾아 마지막에 한 번만 자리를 바꾸는 연산을 수행한다.
: 먼저 들어온 데이터가 먼저 나가는 선입선출(FIFO, First In First Out), 후입후출(LILO, Last In Last Out)의 자료구조
☞ 입구와 출구가 모두 뚫려있는 터널과 같은 형태로 시각화
from collections import deque
# 큐(Queue) 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
# deque : Stack과 Queue의 장점을 모두 채택한 것으로 데이터를 넣고 빼는 속도가 List
# 자료형에 비해 효율적이며 queue 라이브러리를 이용하는 것 보다 간단
# 대부분의 코딩 테스트에서 collections 모듈과 같은 라이브러리 사용을 허용
queue = deque()
# 삽입(5) - 삽입(2) - 삽입(3) - 삽입(7) - 삭제() - 삽입(1) - 삽입(4) - 삭제()
stack.append(5) # append(), leftpop()의 시간 복잡도는 O(1)
stack.append(2)
stack.append(3)
stack.append(7)
stack.popleft()
stack.append(1)
stack.append(4)
stack.popleft()
print(queue) # 먼저 들어온 순서대로 출력
queue.reverse() # 다음 출력을 위해 역순으로 바꾸기
print(queue) # 나중에 들어온 원소부터 출력
print(list(queue)) # List 자료형으로 변환
실제로 컴퓨터 시스템 상에서 함수가 재귀적으로 호출되면 컴퓨터 시스템의 Stack 프레임에 함수가 반복적으로 쌓여 가장 마지막에 호출된 하뭇가 처리된 후에 이 함수를 불렀던 함수가 처리되는 방식으로 수행된다. ☞ 실제로는 Stack과 같은 형태로 동작한다. = 자료구조 안에 함수에 대한 정보가 차례대로 담겨 컴퓨터 메모리에 올란간다. ☞ 컴퓨터 메모리는 한정된 크기 만큼의 자원을 가지고 있어 무작정 함수가 종료되지 않고 쌓아올려 재귀적으로 호출만 하게 되면 빠르게 메모리가 가득 차서 문제가 발생할 수 있으므로 재귀 깊이에 제한을 걸어야 한다.
만약, 제한 없이 재귀함수를 호출하고자 한다면? ① 재귀 제한을 느슨하게 만드는 방법 ② 별도로 Stack 자료구조를 이용해 Stack 개체를 따로 만들고 그것을 이용하는 방법
def recursive_fuction():
print('재귀 함수를 호출합니다')
recursive_function()
recursive_function()
재귀 함수를 호출합니다.
...
재귀 함수를 호출합니다.
Traceback (most recent call last):
File "main.py", line 12, in <module>
recursive_function()
File "main.py", line 10, in recursive_function
recursive_function()
File "main.py", line 10, in recursive_function
recursive_function()
File "main.py", line 10, in recursive_function
recursive_function()
[Previous line repeated 992 more times]
File "main.py", line 9, in recursive_function
print('재귀 함수를 호출합니다.')
RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object
☞ 최대 재귀 깊이 초과 메시지 출력
☞ Python에서는 기본적인 재귀를 호출하는 과정에서 깊이 제한이 있어 별다른 설정을 하지
않고 함수를 재귀적으로 호출하면 오류 메시지가 나올 수 있음
def recursive_function(i):
# 100번 째 호출을 했을 때 종료되도록 종료 조건 명시
if i == 100:
return
print(i, '번째 재귀함수에서', i+1, '번째 재귀함수를 호출합니다.')
recursive_function(i+1)
print(i, '번째 재귀함수를 종료합니다.')
recursive_function(1)
1 번째 재귀함수에서 2 번째 재귀함수를 호출합니다.
2 번째 재귀함수에서 3 번째 재귀함수를 호출합니다.
3 번째 재귀함수에서 4 번째 재귀함수를 호출합니다.
4 번째 재귀함수에서 5 번째 재귀함수를 호출합니다.
...
99 번째 재귀함수에서 100 번째 재귀함수를 호출합니다.
99 번째 재귀함수를 종료합니다.
98 번째 재귀함수를 종료합니다.
97 번째 재귀함수를 종료합니다.
96 번째 재귀함수를 종료합니다.
...
2 번째 재귀함수를 종료합니다.
1 번째 재귀함수를 종료합니다.
# 반복적으로 구현한 n!
def factorial_iterative(n):
result = 1
# 1 부터 n 까지의 수를 차례대로 곱하기
for i in range(1, n + 1):
result *= i
return result
# 재귀적으로 구현한 n!
def factorial_recursive(n):
if n <= 1: # n이 1 이하인 경우 1을 반환
return 1
# n! = n * (n-1)!을 그대로 코드로 작성하기
return n * factorial_recursive(n - 1)
# 각자의 방식으로 구현한 n! 출력 (n = 5)
print('반복적으로 구현:', factorial_iterative(5))
print('재귀적으로 구현:', factorial_recursive(5))
두 자연수 A, B(A > B)에 대해 A를 B로 나눈 나머지를 R이라고 하면 A와 B의 최대 공약수는 B와 R의 최대공약수와 같다. e.g., GCD(192, 162) # GCD: Greatest Common Devisor, 최대 공약수
def gcd(a, b):
if a % b == 0: # a가 b의 배수인 경우
return b
else:
return gcd(b, a % b)
print(gcd(192, 162))
6
4.2. 재귀함수 사용의 유의사항
재귀함수를 잘 활용하면 복잡한 Algorithm을 간결하게 작성할 수 있다. ☞ 단, 오히려 다른 사람이 이해하기 어려운 형태의 코드가 될 수 있으므로 신중하게 사요해야 한다.
모든 재귀함수는 반복문을 이용해 동일한 기능으로 구현할 수 있다.
재귀함수가 반복문보다 유리한 경우도 있으며 불리한 경우도 있다.
컴퓨터가 함수를 연속적으로 호출하면 메모리 내부의 Stack Frame에 쌓인다 ☞ Stack을 사용할 때 구현상 Stack Library 대신 재귀함수를 이용하는 경우가 많다.
5. 그래프(Graph)의 기본 구조
노드(Node) = 정점(Vertex)
간선(Edge)
두 Node가 Edge로 연결되어 있다 = 두 Node는 인접하다 (Adjacent)
5.1. Graph를 표현하는 방식
① 인접 행렬(Adjacent Matrix)
: 2차원 배열로 Graph의 연결 관계를 표현하는 방식
☞ 연결되어있지 않은 Node끼리는 무한(Infinity)의 비용이라고 작성
INF = 999999999 # 무한의 비용 선언
# 2차원 리스트를 이용해 인접 행렬 표현
graph = [
[0, 7, 5],
[7, 0, INF],
[5, INF, 0]
]
print(graph)
[[0, 7, 5], [7, 0, 999999999], [5, 999999999, 0]]
② 인접 리스트(Adjacent List)
: List로 Graph의 연결 관계를 표현하는 방식
☞ 연결 리스트라는 자료 구조를 이용해 구현하며 C++, JAVA와 같은 프로그래밍 언어에서는 별도로 연결 리스트 기능을 위한 표준 라이브러리를 제공하지만 Python은 기본 자료형인 List 자료형이 append()와 같은 Method를 제공하므로 전통적인 Programming 언어에서의 배열과 연결 리스트의 기능을 모두 기본적으로 제공한다.
# 행(Row)이 3개인 2차원 리스트로 인접 리스트 표현
graph = [[] for _ in range(3)]
# 노드 0에 연결된 노드 정보 저장(노드, 거리)
graph[0].append((1, 7))
graph[1].append((2, 5))
# 노드 1에 연결된 노드 정보 저장(노드, 거리)
graph[1].append((0, 7))
# 노드 2에 연결된 노드 정보 저장(노드, 거리)
graph[2].append((0, 5))
print(graph)
[[(1, 7)], [(2, 5), (0, 7)], [(0, 5)]]
6. DFS(Depth-First Search, 깊이 우선 탐색)
: Graph에서 깊은 부분을 우선적으로 탐색하는 Algorithm
Stack 자료구조 또는 재귀 함수를 이용 1. 탐색 시작 Node를 Stack에 삽입하고 방문 처리 2. Stack의 최상단 Node에 방문하지 않은 인접한 Node가 하나라도 있으며 그 Node를 Stack에 넣고 방문 처리 3. Stack의 최상단 Node에 방문하지 않은 인접한 Node가 없다면 Stack에서 최상단 Node 꺼냄 4. 더 이상 2번 과정을 수행할 수 없을 때까지 반복
# DFS 메서드 정의
def dfs(graph, v, visited):
# 현재 노드를 방문 처리
visited[v] = True
print(v, end = ' ')
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 재귀적으로 방문
for i in graph[v]:
if not visited[i]:
dfs(graph, i, visited)
# 각 노드가 연결된 정보를 리스트 자료형으로 표현(2차원 리스트)
# 인접 리스트 방식으로 그래프 표현
graph = [
[], # 0번 노드와 인접한 노드
[2, 3, 8], # 1번 노드와 인접한 노드
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 각 노드가 방문된 정보를 리스트 자료형으로 표현(1차원 리스트)
visited = [False] * 9
# 정의된 DFS 함수 호출
dfs(graph, 1, visited) # 시작 노드 : 1
1 2 7 6 8 3 4 5
7. BFS(Breadth-First Search, 너비 우선 탐색)
: Graph에서 가까운 Node부터 우선적으로 탐색하는 Algorithm
Queue 자료구조 이용 1. 탐색 시작 Node를 Queue에 삽입하고 방문 처리 2. Queue에서 Node를 꺼낸 뒤 해당 Node에 방문하지 않은 인접한 Node가 하나라도 있으면 그 Node를 Queue에 넣고 방문 처리 3. 더 이상 2번 과정을 수행할 수 없을 때까지 반복
from collections import deque
# BFS 메서드 정의
def bfs(graph, start, visited):
# 큐(Queue) 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
queue = deque([start])
# 현재 노드를 방문 처리
visited[start] = True
# 큐가 빌 때까지 반복
while queue:
# 큐에서 하나의 원소를 뽑아 출력
v = queue.popleft()
print(v, end = ' ')
# 해당 원소와 연결된, 아직 방문하지 않은 원소들을 큐에 삽입
for i in graph[v]:
if not visited[i]:
queue.append(i)
visited[i] = True
# 각 노드가 연결된 정보를 리스트 자료형으로 표현(2차원 리스트)
graph = [
[], # 노드 0과 인접한 노드
[2, 3, 8], # 노드 1과 인접한 노드
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 각 노드가 방문된 정보를 리스트 자료형으로 표현(1차원 리스트)
visited = [False] * 9
# 정의된 BFS 함수 호출
bfs(graph, 1, visited)
1 2 3 8 7 4 5 6
8. DFS vs BFS
DFS와 BFS의 동작 시간
재귀 함수로 DFS를 구현하면 컴퓨터 시스템의 동작 특성상 실제 프로그램의 수행 시간은 느려질 수 있다. 따라서 Stack Library를 이용해 시간 복잡도를 완화하는 테크닉이 필요할 때도 있다. 코딩 테스트에서는 보통 DFS보다는 BFS 구현이 조금 더 빠르게 동작한다.
Python 3.7로 Code를 작성할 때 1초에 2,000만 번의 연산을 수행한다고 가정(2020년 기준)
시간 제한
1초
메모리 제한
128 MB
데이터 개수
100만 개
시간 제한이 1초, 데이터 개수가 100만개인 문제가 있다면 일반적으로 시간 복잡도는 이내의 Algorithm을 이용해 문제를 풀어야 한다. ☞ 일 때 이기 때문
1. 구현(Impletmentation)
: 머릿속에 알고 있는 Algorithm을 Code로 바꾸는 과정
☞ 흔히 Algorithm 대회에서의 구현 유형 문제는 풀이를 떠올리는 것은 쉽지만 Code로 옮기기 어려운 문제를 지칭한다.
e.g., 완전 탐색, 시뮬레이션
완전 탐색(Brute Forcing) : 가능한 모든 경우의 수를 탐색하는 방법
시뮬레이션(Simulation) : 문제에서 제시한 Algorithm을 한 단계씩 차례대로 직접 수행해야하는 문제 유형
2. 행렬(Matrix)
: 2차원 Data를 일종의 표와 같은 형태로 쉽게 나타내 줄 수 있도록 하는 수학 개념 중 하나 (Programming에서의 2차원 배열, 리스트)
☞ 일반적으로 Algorithm 문제에서의 2차원 공간은 행렬(Matrix)의 의미로 사용되며 Simulation 및 완전 탐색 문제에서는 2차원 공간에서의 방향 벡터가 자주 활용된다.
# 동, 북, 서, 남
dx = [0, -1, 0, 1] # 가로 축(행)
dy = [1, 0, -1, 0] # 세로 축(열)
# 현재 위치
x, y = 2, 2
for i in range(4):
# 다음 위치 -> 동, 북, 서, 남의 방향으로 1번씩 이동
nx = x + dx[i]
ny = y + dy[i]
print(nx, ny)
