티어 : Bronze 2 시간 제한 : 1 초 메모리 제한 : 128 MB 알고리즘 분류 : 수학, 구현, 사칙연산
문제
세 개의 자연수 A, B, C가 주어질 때 A × B × C를 계산한 결과에 0부터 9까지 각각의 숫자가 몇 번씩 쓰였는지를 구하는 프로그램을 작성하시오.
예를 들어 A = 150, B = 266, C = 427 이라면 A × B × C = 150 × 266 × 427 = 17037300 이 되고, 계산한 결과 17037300 에는 0이 3번, 1이 1번, 3이 2번, 7이 2번 쓰였다.
입력
첫째 줄에 A, 둘째 줄에 B, 셋째 줄에 C가 주어진다. A, B, C는 모두 100보다 크거나 같고, 1,000보다 작은 자연수이다.
출력
첫째 줄에는 A × B × C의 결과에 0 이 몇 번 쓰였는지 출력한다. 마찬가지로 둘째 줄부터 열 번째 줄까지 A × B × C의 결과에 1부터 9까지의 숫자가 각각 몇 번 쓰였는지 차례로 한 줄에 하나씩 출력한다.
예제 입출력
Code
A = int(input())
B = int(input())
C = int(input())
num = str(A*B*C)
count = [0 for _ in range(10)]
for i in range(len(num)):
count[int(num[i])] += 1
for i in count:
print(i)
: 먼저 들어온 데이터가 먼저 나가는 선입선출(FIFO, First In First Out), 후입후출(LILO, Last In Last Out)의 자료구조
☞ 입구와 출구가 모두 뚫려있는 터널과 같은 형태로 시각화
from collections import deque
# 큐(Queue) 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
# deque : Stack과 Queue의 장점을 모두 채택한 것으로 데이터를 넣고 빼는 속도가 List
# 자료형에 비해 효율적이며 queue 라이브러리를 이용하는 것 보다 간단
# 대부분의 코딩 테스트에서 collections 모듈과 같은 라이브러리 사용을 허용
queue = deque()
# 삽입(5) - 삽입(2) - 삽입(3) - 삽입(7) - 삭제() - 삽입(1) - 삽입(4) - 삭제()
stack.append(5) # append(), leftpop()의 시간 복잡도는 O(1)
stack.append(2)
stack.append(3)
stack.append(7)
stack.popleft()
stack.append(1)
stack.append(4)
stack.popleft()
print(queue) # 먼저 들어온 순서대로 출력
queue.reverse() # 다음 출력을 위해 역순으로 바꾸기
print(queue) # 나중에 들어온 원소부터 출력
print(list(queue)) # List 자료형으로 변환
실제로 컴퓨터 시스템 상에서 함수가 재귀적으로 호출되면 컴퓨터 시스템의 Stack 프레임에 함수가 반복적으로 쌓여 가장 마지막에 호출된 하뭇가 처리된 후에 이 함수를 불렀던 함수가 처리되는 방식으로 수행된다. ☞ 실제로는 Stack과 같은 형태로 동작한다. = 자료구조 안에 함수에 대한 정보가 차례대로 담겨 컴퓨터 메모리에 올란간다. ☞ 컴퓨터 메모리는 한정된 크기 만큼의 자원을 가지고 있어 무작정 함수가 종료되지 않고 쌓아올려 재귀적으로 호출만 하게 되면 빠르게 메모리가 가득 차서 문제가 발생할 수 있으므로 재귀 깊이에 제한을 걸어야 한다.
만약, 제한 없이 재귀함수를 호출하고자 한다면? ① 재귀 제한을 느슨하게 만드는 방법 ② 별도로 Stack 자료구조를 이용해 Stack 개체를 따로 만들고 그것을 이용하는 방법
def recursive_fuction():
print('재귀 함수를 호출합니다')
recursive_function()
recursive_function()
재귀 함수를 호출합니다.
...
재귀 함수를 호출합니다.
Traceback (most recent call last):
File "main.py", line 12, in <module>
recursive_function()
File "main.py", line 10, in recursive_function
recursive_function()
File "main.py", line 10, in recursive_function
recursive_function()
File "main.py", line 10, in recursive_function
recursive_function()
[Previous line repeated 992 more times]
File "main.py", line 9, in recursive_function
print('재귀 함수를 호출합니다.')
RecursionError: maximum recursion depth exceeded while calling a Python object
☞ 최대 재귀 깊이 초과 메시지 출력
☞ Python에서는 기본적인 재귀를 호출하는 과정에서 깊이 제한이 있어 별다른 설정을 하지
않고 함수를 재귀적으로 호출하면 오류 메시지가 나올 수 있음
def recursive_function(i):
# 100번 째 호출을 했을 때 종료되도록 종료 조건 명시
if i == 100:
return
print(i, '번째 재귀함수에서', i+1, '번째 재귀함수를 호출합니다.')
recursive_function(i+1)
print(i, '번째 재귀함수를 종료합니다.')
recursive_function(1)
1 번째 재귀함수에서 2 번째 재귀함수를 호출합니다.
2 번째 재귀함수에서 3 번째 재귀함수를 호출합니다.
3 번째 재귀함수에서 4 번째 재귀함수를 호출합니다.
4 번째 재귀함수에서 5 번째 재귀함수를 호출합니다.
...
99 번째 재귀함수에서 100 번째 재귀함수를 호출합니다.
99 번째 재귀함수를 종료합니다.
98 번째 재귀함수를 종료합니다.
97 번째 재귀함수를 종료합니다.
96 번째 재귀함수를 종료합니다.
...
2 번째 재귀함수를 종료합니다.
1 번째 재귀함수를 종료합니다.
# 반복적으로 구현한 n!
def factorial_iterative(n):
result = 1
# 1 부터 n 까지의 수를 차례대로 곱하기
for i in range(1, n + 1):
result *= i
return result
# 재귀적으로 구현한 n!
def factorial_recursive(n):
if n <= 1: # n이 1 이하인 경우 1을 반환
return 1
# n! = n * (n-1)!을 그대로 코드로 작성하기
return n * factorial_recursive(n - 1)
# 각자의 방식으로 구현한 n! 출력 (n = 5)
print('반복적으로 구현:', factorial_iterative(5))
print('재귀적으로 구현:', factorial_recursive(5))
두 자연수 A, B(A > B)에 대해 A를 B로 나눈 나머지를 R이라고 하면 A와 B의 최대 공약수는 B와 R의 최대공약수와 같다. e.g., GCD(192, 162) # GCD: Greatest Common Devisor, 최대 공약수
def gcd(a, b):
if a % b == 0: # a가 b의 배수인 경우
return b
else:
return gcd(b, a % b)
print(gcd(192, 162))
6
4.2. 재귀함수 사용의 유의사항
재귀함수를 잘 활용하면 복잡한 Algorithm을 간결하게 작성할 수 있다. ☞ 단, 오히려 다른 사람이 이해하기 어려운 형태의 코드가 될 수 있으므로 신중하게 사요해야 한다.
모든 재귀함수는 반복문을 이용해 동일한 기능으로 구현할 수 있다.
재귀함수가 반복문보다 유리한 경우도 있으며 불리한 경우도 있다.
컴퓨터가 함수를 연속적으로 호출하면 메모리 내부의 Stack Frame에 쌓인다 ☞ Stack을 사용할 때 구현상 Stack Library 대신 재귀함수를 이용하는 경우가 많다.
5. 그래프(Graph)의 기본 구조
노드(Node) = 정점(Vertex)
간선(Edge)
두 Node가 Edge로 연결되어 있다 = 두 Node는 인접하다 (Adjacent)
5.1. Graph를 표현하는 방식
① 인접 행렬(Adjacent Matrix)
: 2차원 배열로 Graph의 연결 관계를 표현하는 방식
☞ 연결되어있지 않은 Node끼리는 무한(Infinity)의 비용이라고 작성
INF = 999999999 # 무한의 비용 선언
# 2차원 리스트를 이용해 인접 행렬 표현
graph = [
[0, 7, 5],
[7, 0, INF],
[5, INF, 0]
]
print(graph)
[[0, 7, 5], [7, 0, 999999999], [5, 999999999, 0]]
② 인접 리스트(Adjacent List)
: List로 Graph의 연결 관계를 표현하는 방식
☞ 연결 리스트라는 자료 구조를 이용해 구현하며 C++, JAVA와 같은 프로그래밍 언어에서는 별도로 연결 리스트 기능을 위한 표준 라이브러리를 제공하지만 Python은 기본 자료형인 List 자료형이 append()와 같은 Method를 제공하므로 전통적인 Programming 언어에서의 배열과 연결 리스트의 기능을 모두 기본적으로 제공한다.
# 행(Row)이 3개인 2차원 리스트로 인접 리스트 표현
graph = [[] for _ in range(3)]
# 노드 0에 연결된 노드 정보 저장(노드, 거리)
graph[0].append((1, 7))
graph[1].append((2, 5))
# 노드 1에 연결된 노드 정보 저장(노드, 거리)
graph[1].append((0, 7))
# 노드 2에 연결된 노드 정보 저장(노드, 거리)
graph[2].append((0, 5))
print(graph)
[[(1, 7)], [(2, 5), (0, 7)], [(0, 5)]]
6. DFS(Depth-First Search, 깊이 우선 탐색)
: Graph에서 깊은 부분을 우선적으로 탐색하는 Algorithm
Stack 자료구조 또는 재귀 함수를 이용 1. 탐색 시작 Node를 Stack에 삽입하고 방문 처리 2. Stack의 최상단 Node에 방문하지 않은 인접한 Node가 하나라도 있으며 그 Node를 Stack에 넣고 방문 처리 3. Stack의 최상단 Node에 방문하지 않은 인접한 Node가 없다면 Stack에서 최상단 Node 꺼냄 4. 더 이상 2번 과정을 수행할 수 없을 때까지 반복
# DFS 메서드 정의
def dfs(graph, v, visited):
# 현재 노드를 방문 처리
visited[v] = True
print(v, end = ' ')
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 재귀적으로 방문
for i in graph[v]:
if not visited[i]:
dfs(graph, i, visited)
# 각 노드가 연결된 정보를 리스트 자료형으로 표현(2차원 리스트)
# 인접 리스트 방식으로 그래프 표현
graph = [
[], # 0번 노드와 인접한 노드
[2, 3, 8], # 1번 노드와 인접한 노드
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 각 노드가 방문된 정보를 리스트 자료형으로 표현(1차원 리스트)
visited = [False] * 9
# 정의된 DFS 함수 호출
dfs(graph, 1, visited) # 시작 노드 : 1
1 2 7 6 8 3 4 5
7. BFS(Breadth-First Search, 너비 우선 탐색)
: Graph에서 가까운 Node부터 우선적으로 탐색하는 Algorithm
Queue 자료구조 이용 1. 탐색 시작 Node를 Queue에 삽입하고 방문 처리 2. Queue에서 Node를 꺼낸 뒤 해당 Node에 방문하지 않은 인접한 Node가 하나라도 있으면 그 Node를 Queue에 넣고 방문 처리 3. 더 이상 2번 과정을 수행할 수 없을 때까지 반복
from collections import deque
# BFS 메서드 정의
def bfs(graph, start, visited):
# 큐(Queue) 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
queue = deque([start])
# 현재 노드를 방문 처리
visited[start] = True
# 큐가 빌 때까지 반복
while queue:
# 큐에서 하나의 원소를 뽑아 출력
v = queue.popleft()
print(v, end = ' ')
# 해당 원소와 연결된, 아직 방문하지 않은 원소들을 큐에 삽입
for i in graph[v]:
if not visited[i]:
queue.append(i)
visited[i] = True
# 각 노드가 연결된 정보를 리스트 자료형으로 표현(2차원 리스트)
graph = [
[], # 노드 0과 인접한 노드
[2, 3, 8], # 노드 1과 인접한 노드
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 각 노드가 방문된 정보를 리스트 자료형으로 표현(1차원 리스트)
visited = [False] * 9
# 정의된 BFS 함수 호출
bfs(graph, 1, visited)
1 2 3 8 7 4 5 6
8. DFS vs BFS
DFS와 BFS의 동작 시간
재귀 함수로 DFS를 구현하면 컴퓨터 시스템의 동작 특성상 실제 프로그램의 수행 시간은 느려질 수 있다. 따라서 Stack Library를 이용해 시간 복잡도를 완화하는 테크닉이 필요할 때도 있다. 코딩 테스트에서는 보통 DFS보다는 BFS 구현이 조금 더 빠르게 동작한다.
티어 : Silver 2 시간 제한 : 2 초 메모리 제한 : 128 MB 알고리즘 분류 : 그리디 알고리즘, 정렬
문제
한 개의 회의실이 있는데 이를 사용하고자 하는 N개의 회의에 대하여 회의실 사용표를 만들려고 한다. 각 회의 I에 대해 시작시간과 끝나는 시간이 주어져 있고, 각 회의가 겹치지 않게 하면서 회의실을 사용할 수 있는 회의의 최대 개수를 찾아보자. 단, 회의는 한번 시작하면 중간에 중단될 수 없으며 한 회의가 끝나는 것과 동시에 다음 회의가 시작될 수 있다. 회의의 시작시간과 끝나는 시간이 같을 수도 있다. 이 경우에는 시작하자마자 끝나는 것으로 생각하면 된다.
입력
첫째 줄에 회의의 수 N(1 ≤ N ≤ 100,000)이 주어진다. 둘째 줄부터 N+1 줄까지 각 회의의 정보가 주어지는데 이것은 공백을 사이에 두고 회의의 시작시간과 끝나는 시간이 주어진다. 시작 시간과 끝나는 시간은
보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.
출력
첫째 줄에 최대 사용할 수 있는 회의의 최대 개수를 출력한다.
예제 입출력
힌트
(1,4), (5,7), (8,11), (12,14) 를 이용할 수 있다.
Algorithm
Greedy 1. 리스트로 입력받아 끝나는 시간을 기준으로 오름차순 정렬 2. stack에 첫 번째 회의 추가 3. stack의 마지막 회의의 끝나는 시간보다 시작 시간이 크거나 같은 회의만 추가 4. stack의 길이 출력
Code
import sys
input = sys.stdin.readline
# 입력
N = int(input())
I = []
for _ in range(N):
I.append(tuple(map(int, input().split())))
# 시작 시간, 회의 시간 순서대로 기준을 잡아 정렬
I.sort(key = lambda x: (x[1], x[0]))
# 회의 시작 시간이 이전 회의 끝나는 시간보다 크거나 같으면 추가
stack = [I[0]]
for index in range(1, N):
if I[index][0] >= stack[-1][1]:
stack.append(I[index])
print(len(stack))
티어 : Silver 2 시간 제한 : 1 초 메모리 제한 : 256 MB 알고리즘 분류 : 브루트포스 알고리즘, 백트래킹
문제
두 종류의 부등호 기호 ‘<’와 ‘>’가 k개 나열된 순서열 A가 있다. 우리는 이 부등호 기호 앞뒤에 서로 다른 한 자릿수 숫자를 넣어서 모든 부등호 관계를 만족시키려고 한다. 예를 들어, 제시된 부등호 순서열 A가 다음과 같다고 하자.
A ⇒ < < < > < < > < >
부등호 기호 앞뒤에 넣을 수 있는 숫자는 0부터 9까지의 정수이며 선택된 숫자는 모두 달라야 한다. 아래는 부등호 순서열 A를 만족시키는 한 예이다.
3 < 4 < 5 < 6 > 1 < 2 < 8 > 7 < 9 > 0
이 상황에서 부등호 기호를 제거한 뒤, 숫자를 모두 붙이면 하나의 수를 만들 수 있는데 이 수를 주어진 부등호 관계를 만족시키는 정수라고 한다. 그런데 주어진 부등호 관계를 만족하는 정수는 하나 이상 존재한다. 예를 들어 3456128790 뿐만 아니라 5689023174도 아래와 같이 부등호 관계 A를 만족시킨다.
5 < 6 < 8 < 9 > 0 < 2 < 3 > 1 < 7 > 4
여러분은 제시된 k개의 부등호 순서를 만족하는 (k+1)자리의 정수 중에서 최댓값과 최솟값을 찾아야 한다. 앞서 설명한 대로 각 부등호의 앞뒤에 들어가는 숫자는 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }중에서 선택해야 하며선택된 숫자는 모두 달라야 한다.
입력
첫 줄에 부등호 문자의 개수를 나타내는 정수 k가 주어진다. 그 다음 줄에는 k개의 부등호 기호가 하나의 공백을 두고 한 줄에 모두 제시된다. k의 범위는 2 ≤ k ≤ 9 이다.
출력
여러분은 제시된 부등호 관계를 만족하는 k+1 자리의 최대, 최소 정수를 첫째 줄과 둘째 줄에 각각 출력해야 한다. 단 아래 예(1)과 같이 첫 자리가 0인 경우도 정수에 포함되어야 한다. 모든 입력에 답은 항상 존재하며 출력 정수는 하나의 문자열이 되도록 해야 한다.
예제 입출력
Algorithm
back tracking - 재귀 1. 0부터 9까지 stack에 추가 1.1. stack이 비어있으면 바로 append 1.2. stack이 비어있지 않으면 stack이 없는 값이며 부등호를 확인해 < 이면 stack[-1]보다 큰 값, > 이면 stack[-1]보다 작은 값만 추가 2. 재귀함수 호출 3. 재귀함수 return되면 pop 4. stack의 길이가 K+1이 되면 최댓값, 최솟값 갱신
Code
def back_tracking():
global min_
global max_
# stack의 길이가 k+1이 되면
if len(stack) == k+1:
num = int(''.join(list(map(str, stack))))
# 최솟값 갱신
if min_ > num:
min_ = num
# 최댓값 갱신
if max_ < num:
max_ = num
else:
for i in range(10):
# stack 비어있으면 바로 추가
if not stack:
stack.append(i)
back_tracking()
stack.pop()
# stack 비어있지 않으면
elif i not in stack:
if inequalities[len(stack)-1] == '<' and stack[-1] < i:
# stack[-1]보다 큰 값만 추가
stack.append(i)
back_tracking()
stack.pop()
elif inequalities[len(stack)-1] == '>' and stack[-1] > i:
# stack[-1]보다 작은 값만 추가
stack.append(i)
back_tracking()
stack.pop()
import sys
input = sys.stdin.readline
k = int(input())
inequalities = list(input().rstrip().split())
global min_
global max_
min_ = 9876543211
max_ = 0
stack = []
back_tracking()
answer = ''
for i in range(k+1 - len(str(max_))):
answer += '0'
answer += str(max_) + '\n'
for i in range(k+1 - len(str(min_))):
answer += '0'
answer += str(min_)
print(answer)
티어 : Silver 1 시간 제한 : 2 초 메모리 제한 : 512 MB 알고리즘 분류 : 브루트포스 알고리즘
문제
오늘은 스타트링크에 다니는 사람들이 모여서 축구를 해보려고 한다. 축구는 평일 오후에 하고 의무 참석도 아니다. 축구를 하기 위해 모인 사람은 총 N명이다. 이제 스타트 팀과 링크 팀으로 사람들을 나눠야 한다. 두 팀의 인원수는 같지 않아도 되지만, 한 명 이상이어야 한다.
BOJ를 운영하는 회사 답게 사람에게 번호를 1부터 N까지로 배정했고, 아래와 같은 능력치를 조사했다. 능력치 Sij는 i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치이다. 팀의 능력치는 팀에 속한 모든 쌍의 능력치 Sij의 합이다. Sij는 Sji와 다를 수도 있으며, i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치는 Sij와 Sji이다.
N=4이고, S가 아래와 같은 경우를 살펴보자.
예를 들어, 1, 2번이 스타트 팀, 3, 4번이 링크 팀에 속한 경우에 두 팀의 능력치는 아래와 같다.
스타트 팀: S12+ S21= 1 + 4 = 5
링크 팀: S34+ S43= 2 + 5 = 7
1, 3번이 스타트 팀, 2, 4번이 링크 팀에 속하면, 두 팀의 능력치는 아래와 같다.
스타트 팀: S13+ S31= 2 + 7 = 9
링크 팀: S24+ S42= 6 + 4 = 10
축구를 재미있게 하기 위해서 스타트 팀의 능력치와 링크 팀의 능력치의 차이를 최소로 하려고 한다. 위의 예제와 같은 경우에는 1, 4번이 스타트 팀, 2, 3번 팀이 링크 팀에 속하면 스타트 팀의 능력치는 6, 링크 팀의 능력치는 6이 되어서 차이가 0이 되고 이 값이 최소이다.
입력
첫째 줄에 N(4 ≤ N ≤ 20)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 S가 주어진다. 각 줄은 N개의 수로 이루어져 있고, i번 줄의 j번째 수는 Sij이다. Sii는 항상 0이고, 나머지 Sij는 1보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다.
출력
첫째 줄에 스타트 팀과 링크 팀의 능력치의 차이의 최솟값을 출력한다.
예제 입출력
Algorithm
back tracking - 재귀 1. start에 숫자 추가 1.1. start가 비어있으면 그냥 추가 1.2. start가 비어있지 않으면 stack에 들어있지 않고 stack의 마지막 숫자보다 큰 숫자만 추가 2. append될 때마다 두 팀의 능력치 차이에 따라 answer 갱신 3. 재귀함수 호출 4. 재귀함수 return되면 pop 5. start의 길이가 N-1이 되면 append하기 전에 pop부터 하도록 구현
Code
import sys
input = sys.stdin.readline
def back_tracking(s_start, s_link):
global answer
# start 길이가 N - 1이 되면 append하기 전에 pop부터 하도록 구현
if len(start) == N-1:
pass
else:
for num in range(N):
# start 비어 있으면 숫자 추가
if not start:
# start의 첫 번째 원소가 1이면 return
if num == 1:
return answer
start.append(num)
# start에 값이 추가될 때마다 능력치 확인
for i in start[:-1]:
s_start += (S[i][num] + S[num][i])
for i in range(N):
if i not in start:
s_link -= (S[num][i] + S[i][num])
# answer값 갱신
if answer < max(s_start - s_link, s_link - s_start):
answer = max(s_start - s_link, s_link - s_start)
# 재귀함수 호출하고 return되면 pop
back_tracking(s_start, s_link)
for i in start[:-1]:
s_start -= S[i][start[-1]] + S[start[-1]][i]
for i in range(N):
if i not in start:
s_link += (S[num][i] + S[i][num])
start.pop()
# start 비어있지 않으면 start에 들어있지 않고 start의 마지막 숫자보다 큰 값만 추가
elif num not in start and start[-1] < num:
start.append(num)
for i in start[:-1]:
s_start += S[i][num] + S[num][i]
for i in range(N):
if i not in start:
s_link -= (S[num][i] + S[i][num])
# answer값 갱신
if answer > max(s_start - s_link, s_link - s_start):
answer = max(s_start - s_link, s_link - s_start)
# 재귀함수 호출하고 return되면 pop
back_tracking(s_start, s_link)
for i in start[:-1]:
s_start -= S[i][num] + S[num][i]
for i in range(N):
if i not in start:
s_link += (S[num][i] + S[i][num])
start.pop()
N = int(input())
S = []
temp = []
s_link = 0
for _ in range(N):
temp = list(map(int, input().split()))
S.append(temp)
s_link += sum(temp)
start = []
global answer
answer = 100*N*N
s_start = 0
print(back_tracking(s_start, s_link))
