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외판원 순회 2

티어 : Silver 2
시간 제한 : 2 초
메모리 제한 : 256 MB
알고리즘 분류 : 브루트포스 알고리즘, 백트래킹, 외판원 순회 문제

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 10) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

예제 입출력

Algorithm

Back Tracking 이용
1. 입력으로 리스트로 저장해 graph 구현
2. stack에 값 추가
2.1. stack이 비어있으면 현재 숫자 바로 추가
2.2. stack이 비어있지 않으면 stack에 들어있지 않으면서 비용이 0 이상인 값만 추가
3. 재귀함수 호출
4. 재귀함수 호출되면 stack pop
5. stack의 길이가 N이 되면 시작지점으로 돌아올 수 있는지(비용이 0 이상인지) 확인
5.1. 시작지점으로 돌아올 수 있다면 최소비용 갱신

Code

def back_tracking(costs):
    global answer
    
    # stack의 길이가 N-1이 되면
    if len(stack) == N:
        # 시작지점으로 돌아올 수 있으면 최소 비용 갱신
        if graph[stack[-1]][stack[0]] > 0:
            costs += graph[stack[-1]][stack[0]]
            if answer > costs:
                answer = costs

    else:
        for num in range(N):
            # stack이 비어있으면
            if not stack:
                if num == 1:
                    return
                # 그냥 추가
                stack.append(num)
                back_tracking(costs)
                stack.pop()
            # stack이 비어있지 않으면 stack에 들어있지 않으면서 비용이 0 이상인 값만 추가
            elif num not in stack and graph[stack[-1]][num] > 0:
                stack.append(num)
                costs += graph[stack[-2]][stack[-1]]
                back_tracking(costs)
                costs -= graph[stack[-2]][stack[-1]]
                stack.pop()
                
N = int(input())
graph = []
for _ in range(N):
    graph.append(list(map(int, input().split())))

global answer
answer = 1000000*N*N
stack = []
costs = 0
back_tracking(costs)
if answer == 1000000*N*N:
    print(0)
else:
    print(answer)

메모리: 30840 KB
시간: 1360 ms