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골드바흐의 추측

티어 : Silver 1
시간 제한 : 1 초
메모리 제한 : 256 MB
알고리즘 분류 : 수학, 정수론, 소수 판정, 에라토스테네스의 체

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

예제 입출력

Algorithm

1. 아레토스테네스의 체를 이용해 입력된 값 중 MAX값을 기준으로 소수 리스트 생성
2. 입력받은 값보다 작은 홀수인 소수로 해당 값을 만들 수 있는지 확인

Code

import sys
import math
input = sys.stdin.readline

nums = []
while True:
    num = int(input())
    if num == 0:
        break
    nums.append(num)

# 에라토스테네스의 체를 이용해 MAX(입력값)를 기준으로 소수 리스트 생성
MAX = max(nums)
prime = {}
for i in range(MAX+1):
    prime[i] = True
prime[1] = False
for i in range(2, int(math.sqrt(MAX + 1))):
    if prime[i]:
        for j in range(i*2, MAX, i):
            prime[j] = False

# 입력받은 수보다 작은 홀수 소수로 해당 값을 만들 수 있는지 확인
answer = ''
for i in nums:
    for j in range(i-3, 0, -2):
        if prime[j] and prime[i - j]:
            answer += str(i) + ' = ' + str(i-j) + ' + ' + str(j) + '\n'
            break
    if j == 1:
        answer += 'Goldbach\'s conjecture is wrong.\n'
print(answer)

메모리: 118412 KB
시간: 704 ms

소수 구하기

티어 : Silver 3
시간 제한 : 2 초
메모리 제한 : 256 MB
알고리즘 분류 : 수학, 정수론,소수 판정, 에라토스테네스의 체

문제

M이상 N이하의 소수를 모두 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 M과 N이 빈 칸을 사이에 두고 주어진다. (1 ≤ M ≤ N ≤ 1,000,000) M이상 N이하의 소수가 하나 이상 있는 입력만 주어진다.

출력

한 줄에 하나씩, 증가하는 순서대로 소수를 출력한다.

예제 입출력

Algorithm

1. 1부터 N까지 숫자 리스트 생성
2. 2부터 루트 N까지의 숫자로 리스트 내의 숫자를 순차적으로 나누면서 나누어떨어지는 수 Fasle 표시
3. M부터 N까지의 숫자 중 True 값 갖는 숫자만 출력

Code

import math

# 입력
M, N = map(int, input().split())
# 1부터 N까지 숫자 리스트 생성
nums = [True for _ in range(N+1)]
nums[1] = False # 1은 소수가 아니므로 False 저장

# 2부터 루트 N + 1까지의 숫자로 나눔
for i in range(2, int(math.sqrt(N) + 1)):
    # 현재 숫자가 나누어진 적 없다면
    if nums[i]:
        # i * 2부터 N을 넘지 않을 때까지의 숫자를 모두 Fasle로 저장
        j = 2
        while i*j < N+1:
            nums[i*j] = False
            j += 1

answer = ''
for i in range(M, N+1):
    if nums[i]:
        answer += str(i) + '\n'
print(answer)

메모리: 42080 KB
시간: 684 ms